Integral de (1-t^2)*t^(4/5) dt

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = t^{\frac{4}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{4 dt}{5 \sqrt[5]{t}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{5 u^{\frac{15}{4}}}{4} + \frac{5 u^{\frac{5}{4}}}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{5 u^{\frac{15}{4}}}{4}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{\frac{15}{4}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{15}{4}}\, du = \frac{4 u^{\frac{19}{4}}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{19}{4}}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 u^{\frac{5}{4}}}{4}\, du = \frac{5 \int u^{\frac{5}{4}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{4}}\, du = \frac{4 u^{\frac{9}{4}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{\frac{9}{4}}}{9}$

         El resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{19}{4}}}{19} + \frac{5 u^{\frac{9}{4}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 t^{\frac{19}{5}}}{19} + \frac{5 t^{\frac{9}{5}}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t^{\frac{4}{5}} \left(1 - t^{2}\right) = - t^{\frac{14}{5}} + t^{\frac{4}{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- t^{\frac{14}{5}}\right)\, dt = - \int t^{\frac{14}{5}}\, dt$

         1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int t^{\frac{14}{5}}\, dt = \frac{5 t^{\frac{19}{5}}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 t^{\frac{19}{5}}}{19}$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{\frac{4}{5}}\, dt = \frac{5 t^{\frac{9}{5}}}{9}$

      El resultado es: $- \frac{5 t^{\frac{19}{5}}}{19} + \frac{5 t^{\frac{9}{5}}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 t^{\frac{9}{5}} \left(19 - 9 t^{2}\right)}{171}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 t^{\frac{9}{5}} \left(19 - 9 t^{2}\right)}{171}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 t^{\frac{9}{5}} \left(19 - 9 t^{2}\right)}{171}+ \mathrm{constant}$