Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- dos *x/(uno +x)^ dos
- 2 multiplicar por x dividir por (1 más x) al cuadrado
- dos multiplicar por x dividir por (uno más x) en el grado dos
- 2*x/(1+x)2
- 2*x/1+x2
- 2*x/(1+x)²
- 2*x/(1+x) en el grado 2
- 2x/(1+x)^2
- 2x/(1+x)2
- 2x/1+x2
- 2x/1+x^2
- 2*x dividir por (1+x)^2
-
Expresiones semejantes
- 2*x/(1-x)^2
Límite de la función 2*x/(1+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2*x \
lim |--------|
x->oo| 2|
\(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((2*x)/(1 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{2 x + 2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{2 x + 2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo