Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \log{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(x + 2\right) \log{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}^{2}}{\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \log{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}^{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)