Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/x)^(tres + dos *x)
- ((3 más x) dividir por x) en el grado (3 más 2 multiplicar por x)
- ((tres más x) dividir por x) en el grado (tres más dos multiplicar por x)
- ((3+x)/x)(3+2*x)
- 3+x/x3+2*x
- ((3+x)/x)^(3+2x)
- ((3+x)/x)(3+2x)
- 3+x/x3+2x
- 3+x/x^3+2x
- ((3+x) dividir por x)^(3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/x)^(3-2*x)
- ((3-x)/x)^(3+2*x)
Límite de la función ((3+x)/x)^(3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 2*x
/3 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
Limit(((3 + x)/x)^(3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2 x + 3} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo