Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- tres +x*(- uno +x^ dos - uno /x^ dos + dos *x)^ dos
- 3 más x multiplicar por ( menos 1 más x al cuadrado menos 1 dividir por x al cuadrado más 2 multiplicar por x) al cuadrado
- tres más x multiplicar por ( menos uno más x en el grado dos menos uno dividir por x en el grado dos más dos multiplicar por x) en el grado dos
- 3+x*(-1+x2-1/x2+2*x)2
- 3+x*-1+x2-1/x2+2*x2
- 3+x*(-1+x²-1/x²+2*x)²
- 3+x*(-1+x en el grado 2-1/x en el grado 2+2*x) en el grado 2
- 3+x(-1+x^2-1/x^2+2x)^2
- 3+x(-1+x2-1/x2+2x)2
- 3+x-1+x2-1/x2+2x2
- 3+x-1+x^2-1/x^2+2x^2
- 3+x*(-1+x^2-1 dividir por x^2+2*x)^2
-
Expresiones semejantes
- 3-x*(-1+x^2-1/x^2+2*x)^2
- 3+x*(-1+x^2+1/x^2+2*x)^2
- 3+x*(-1-x^2-1/x^2+2*x)^2
- 3+x*(-1+x^2-1/x^2-2*x)^2
- 3+x*(1+x^2-1/x^2+2*x)^2
Límite de la función 3+x*(-1+x^2-1/x^2+2*x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| / 2 1 \ |
lim |3 + x*|-1 + x - -- + 2*x| |
x->oo| | 2 | |
\ \ x / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right)$$
Limit(3 + x*(-1 + x^2 - 1/x^2 + 2*x)^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} + 4 x^{7} + 2 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{3} + \left(2 x^{3} + x^{2} \left(x^{2} - 1\right) - 1\right)^{2}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{8} + 4 x^{7} + 2 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{7} + 28 x^{6} + 12 x^{5} - 20 x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{7} + 28 x^{6} + 12 x^{5} - 20 x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{56 x^{6} + 168 x^{5} + 60 x^{4} - 80 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x + 4}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(56 x^{6} + 168 x^{5} + 60 x^{4} - 80 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(56 x^{5} + 140 x^{4} + 40 x^{3} - 40 x^{2} - 4 x - 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(56 x^{5} + 140 x^{4} + 40 x^{3} - 40 x^{2} - 4 x - 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} + 4 x^{7} + 2 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{3} + \left(2 x^{3} + x^{2} \left(x^{2} - 1\right) - 1\right)^{2}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{8} + 4 x^{7} + 2 x^{6} - 4 x^{5} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{7} + 28 x^{6} + 12 x^{5} - 20 x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{7} + 28 x^{6} + 12 x^{5} - 20 x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{56 x^{6} + 168 x^{5} + 60 x^{4} - 80 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x + 4}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(56 x^{6} + 168 x^{5} + 60 x^{4} - 80 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(56 x^{5} + 140 x^{4} + 40 x^{3} - 40 x^{2} - 4 x - 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(56 x^{5} + 140 x^{4} + 40 x^{3} - 40 x^{2} - 4 x - 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 x + \left(\left(x^{2} - 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{2} + 3\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo