Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- -x^ tres + tres *x^ dos + cuatro /(dos +x)^ tres
- menos x al cubo más 3 multiplicar por x al cuadrado más 4 dividir por (2 más x) al cubo
- menos x en el grado tres más tres multiplicar por x en el grado dos más cuatro dividir por (dos más x) en el grado tres
- -x3+3*x2+4/(2+x)3
- -x3+3*x2+4/2+x3
- -x³+3*x²+4/(2+x)³
- -x en el grado 3+3*x en el grado 2+4/(2+x) en el grado 3
- -x^3+3x^2+4/(2+x)^3
- -x3+3x2+4/(2+x)3
- -x3+3x2+4/2+x3
- -x^3+3x^2+4/2+x^3
- -x^3+3*x^2+4 dividir por (2+x)^3
-
Expresiones semejantes
- -x^3+3*x^2-4/(2+x)^3
- -x^3-3*x^2+4/(2+x)^3
- x^3+3*x^2+4/(2+x)^3
- -x^3+3*x^2+4/(2-x)^3
Límite de la función -x^3+3*x^2+4/(2+x)^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 2 4 \
lim |- x + 3*x + --------|
x->oo| 3|
\ (2 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
Limit(-x^3 + 3*x^2 + 4/(2 + x)^3, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} + 28 x^{3} + 24 x^{2} + 4\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(3 - x\right) \left(x + 2\right)^{3} + 4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} + 28 x^{3} + 24 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 24 x^{3} + 84 x^{2} + 48 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 24 x^{3} + 84 x^{2} + 48 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 30 x^{4} - 60 x^{3} + 72 x^{2} + 168 x + 48}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 30 x^{4} - 60 x^{3} + 72 x^{2} + 168 x + 48\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 x^{3} - 30 x^{2} + 24 x + 28\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 x^{3} - 30 x^{2} + 24 x + 28\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} + 28 x^{3} + 24 x^{2} + 4\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(3 - x\right) \left(x + 2\right)^{3} + 4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} + 28 x^{3} + 24 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 24 x^{3} + 84 x^{2} + 48 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 24 x^{3} + 84 x^{2} + 48 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 30 x^{4} - 60 x^{3} + 72 x^{2} + 168 x + 48}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 30 x^{4} - 60 x^{3} + 72 x^{2} + 168 x + 48\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 x^{3} - 30 x^{2} + 24 x + 28\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 x^{3} - 30 x^{2} + 24 x + 28\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{58}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{58}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{58}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{58}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{3} + 3 x^{2}\right) + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo