Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ dos)/(dos +x)^ tres
- (1 más x al cuadrado ) dividir por (2 más x) al cubo
- (uno más x en el grado dos) dividir por (dos más x) en el grado tres
- (1+x2)/(2+x)3
- 1+x2/2+x3
- (1+x²)/(2+x)³
- (1+x en el grado 2)/(2+x) en el grado 3
- 1+x^2/2+x^3
- (1+x^2) dividir por (2+x)^3
-
Expresiones semejantes
- (1-x^2)/(2+x)^3
- (1+x^2)/(2-x)^3
Límite de la función (1+x^2)/(2+x)^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 1 + x |
lim |--------|
x->oo| 3|
\(2 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
Limit((1 + x^2)/(2 + x)^3, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u}{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{3}}{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u}{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{3}}{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{3 x^{2} + 12 x + 12}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{2}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{2}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{2}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \frac{2}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico