Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + dos *x)/(cinco +x^ dos + dos *x)
- (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (5 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x)
- (x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (cinco más x en el grado dos más dos multiplicar por x)
- (x2+2*x)/(5+x2+2*x)
- x2+2*x/5+x2+2*x
- (x²+2*x)/(5+x²+2*x)
- (x en el grado 2+2*x)/(5+x en el grado 2+2*x)
- (x^2+2x)/(5+x^2+2x)
- (x2+2x)/(5+x2+2x)
- x2+2x/5+x2+2x
- x^2+2x/5+x^2+2x
- (x^2+2*x) dividir por (5+x^2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-2*x)/(5+x^2+2*x)
- (x^2+2*x)/(5-x^2+2*x)
- (x^2+2*x)/(5+x^2-2*x)
Límite de la función (x^2+2*x)/(5+x^2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x + 2*x |
lim |------------|
x->oo| 2 |
\5 + x + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Limit((x^2 + 2*x)/(5 + x^2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{5 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{0 \cdot 2 + 5 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{5 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{0 \cdot 2 + 5 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{x^{2} + 2 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo