Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (-cos(x)+cos(3*x))/(-1+cos(x))
-
Límite de (-2-5*x^2+11*x)/(-10-x+3*x^2)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Expresiones idénticas
- x^(-x)*(x-a)^(x-k)*factorial(x)/factorial(x-k)
- x en el grado ( menos x) multiplicar por (x menos a) en el grado (x menos k) multiplicar por factorial(x) dividir por factorial(x menos k)
- x(-x)*(x-a)(x-k)*factorial(x)/factorial(x-k)
- x-x*x-ax-k*factorialx/factorialx-k
- x^(-x)(x-a)^(x-k)factorial(x)/factorial(x-k)
- x(-x)(x-a)(x-k)factorial(x)/factorial(x-k)
- x-xx-ax-kfactorialx/factorialx-k
- x^-xx-a^x-kfactorialx/factorialx-k
- x^(-x)*(x-a)^(x-k)*factorial(x) dividir por factorial(x-k)
-
Expresiones semejantes
- x^(-x)*(x-a)^(x+k)*factorial(x)/factorial(x-k)
- x^(-x)*(x-a)^(x-k)*factorial(x)/factorial(x+k)
- x^(x)*(x-a)^(x-k)*factorial(x)/factorial(x-k)
- x^(-x)*(x+a)^(x-k)*factorial(x)/factorial(x-k)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(1+x)/(-factorial(1+x)+factorial(x))
- factorial(x)^3/factorial(3*n)
- factorial(1+n)/(n*factorial(n))+factorial(-1+n)
- factorial(x)/(x^23*factorial(-23+x))
- factorial(1+n)/(-factorial(n)+factorial(-1+n))
- factorial
- factorial(1+x)/(-factorial(1+x)+factorial(x))
- factorial(x)^3/factorial(3*n)
- factorial(1+n)/(n*factorial(n))+factorial(-1+n)
- factorial(x)/(x^23*factorial(-23+x))
- factorial(1+n)/(-factorial(n)+factorial(-1+n))
Límite de la función x^(-x)*(x-a)^(x-k)*factorial(x)/factorial(x-k)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x x - k \
|x *(x - a) *x!|
lim |-------------------|
x->-oo\ (x - k)! /
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
Limit(((x^(-x)*(x - a)^(x - k))*factorial(x))/factorial(x - k), x, -oo)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x} \left(- k + x\right)!}{x!}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{\frac{\partial}{\partial x} \frac{x^{x} \left(- k + x\right)!}{x!}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{k \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{- a + x} + \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x} \left(\frac{x}{- a + x} + \log{\left(- a + x \right)}\right)}{\frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- k + x\right)!}{x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(- k + x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,- k + x + 1 \right)}}{x!} - \frac{x^{x} \left(- k + x\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{k \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{- a + x} + \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x} \left(\frac{x}{- a + x} + \log{\left(- a + x \right)}\right)}{\frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- k + x\right)!}{x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(- k + x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,- k + x + 1 \right)}}{x!} - \frac{x^{x} \left(- k + x\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}\right)$$
=
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x} \left(- k + x\right)!}{x!}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{\frac{\partial}{\partial x} \frac{x^{x} \left(- k + x\right)!}{x!}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{k \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{- a + x} + \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x} \left(\frac{x}{- a + x} + \log{\left(- a + x \right)}\right)}{\frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- k + x\right)!}{x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(- k + x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,- k + x + 1 \right)}}{x!} - \frac{x^{x} \left(- k + x\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{k \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x}}{- a + x} + \left(- a + x\right)^{- k} \left(- a + x\right)^{x} \left(\frac{x}{- a + x} + \log{\left(- a + x \right)}\right)}{\frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- k + x\right)!}{x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(- k + x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,- k + x + 1 \right)}}{x!} - \frac{x^{x} \left(- k + x\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}\right)$$
=
None
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(- a\right)^{- k}}{\left(- k\right)!}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(- a\right)^{- k}}{\left(- k\right)!}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(1 - a\right) e^{- k \log{\left(1 - a \right)}}}{\Gamma\left(2 - k\right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(1 - a\right) e^{- k \log{\left(1 - a \right)}}}{\Gamma\left(2 - k\right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(- a\right)^{- k}}{\left(- k\right)!}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(- a\right)^{- k}}{\left(- k\right)!}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(1 - a\right) e^{- k \log{\left(1 - a \right)}}}{\Gamma\left(2 - k\right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{- x} \left(- a + x\right)^{- k + x} x!}{\left(- k + x\right)!}\right) = \frac{\left(1 - a\right) e^{- k \log{\left(1 - a \right)}}}{\Gamma\left(2 - k\right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha