Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- diez *x^ dos /(uno -cos(x))
- 10 multiplicar por x al cuadrado dividir por (1 menos coseno de (x))
- diez multiplicar por x en el grado dos dividir por (uno menos coseno de (x))
- 10*x2/(1-cos(x))
- 10*x2/1-cosx
- 10*x²/(1-cos(x))
- 10*x en el grado 2/(1-cos(x))
- 10x^2/(1-cos(x))
- 10x2/(1-cos(x))
- 10x2/1-cosx
- 10x^2/1-cosx
- 10*x^2 dividir por (1-cos(x))
-
Expresiones semejantes
- 10*x^2/(1+cos(x))
- 10*x^2/(1-cosx)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(x^2*sin(7/x))
- cos(x+n/4)
- cos(x)/(x*(-pi+2*x)^2)
- cos(x)/tan(x)
Límite de la función 10*x^2/(1-cos(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 10*x |
lim |----------|
x->0+\1 - cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Limit((10*x^2)/(1 - cos(x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x^{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$5 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$5 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2} = 5 \left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}$$
=
$$5 \cdot 2^{2}$$
=
$$20$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 20$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x^{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$5 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$5 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2} = 5 \left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}$$
=
$$5 \cdot 2^{2}$$
=
$$20$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 20$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(10 x^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 10 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 20 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$20$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(10 x^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 10 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 20 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{20}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$20$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 20$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 20$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{10}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{10}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 20$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{10}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{10}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| 10*x |
lim |----------|
x->0+\1 - cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
20
$$20$$
= 20.0
/ 2 \
| 10*x |
lim |----------|
x->0-\1 - cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
20
$$20$$
= 20.0
= 20.0
Gráfico