Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}}{- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(5 - x^{2} \right)} - \log{\left(5 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\left(5 - x^{2}\right) \left(- 4 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{5 \left(- 4 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x}{5}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 4 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{5 \left(8 \sin{\left(2 x \right)} - 16 \sin{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{5 \left(8 \sin{\left(2 x \right)} - 16 \sin{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)