Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(uno +x))^(uno / tres +x^ dos / tres)
- ((2 más x) dividir por (1 más x)) en el grado (1 dividir por 3 más x al cuadrado dividir por 3)
- ((dos más x) dividir por (uno más x)) en el grado (uno dividir por tres más x en el grado dos dividir por tres)
- ((2+x)/(1+x))(1/3+x2/3)
- 2+x/1+x1/3+x2/3
- ((2+x)/(1+x))^(1/3+x²/3)
- ((2+x)/(1+x)) en el grado (1/3+x en el grado 2/3)
- 2+x/1+x^1/3+x^2/3
- ((2+x) dividir por (1+x))^(1 dividir por 3+x^2 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(1-x))^(1/3+x^2/3)
- ((2-x)/(1+x))^(1/3+x^2/3)
- ((2+x)/(1+x))^(1/3-x^2/3)
Límite de la función ((2+x)/(1+x))^(1/3+x^2/3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 x
- + --
3 3
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
Limit(((2 + x)/(1 + x))^(1/3 + x^2/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) + 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) + 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(u - 1\right)^{2}}{3} - \frac{1}{3}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}} = 0$$
Más detalles con x→-oo