Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- dos *asin(x)/(tres *x)
- 2 multiplicar por ar coseno de eno de (x) dividir por (3 multiplicar por x)
- dos multiplicar por ar coseno de eno de (x) dividir por (tres multiplicar por x)
- 2asin(x)/(3x)
- 2asinx/3x
- 2*asin(x) dividir por (3*x)
-
Expresiones semejantes
- 2*arcsin(x)/(3*x)
- 2*arcsinx/(3*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(x)/x
- asin(5*x)/tan(3*x)
- asin(x)/sin(x)
- asin(4*x)/tan(5*x)
- asin(3*x)
Límite de la función 2*asin(x)/(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/2*asin(x)\ lim |---------| x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Limit((2*asin(x))/((3*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3} = \frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3} = \frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{3}$$
/sin(u)\
= 2/3 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{3 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/2*asin(x)\ lim |---------| x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
2/3
$$\frac{2}{3}$$
= 0.666666666666667
/2*asin(x)\ lim |---------| x->0-\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
2/3
$$\frac{2}{3}$$
= 0.666666666666667
= 0.666666666666667
Gráfico