Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3}\right)$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)