Sr Examen

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sin(7*x)/(5*x)
Límite de la función/ sin(7*x)/ sin(7*x)/(5*x)

Límite de la función sin(7*x)/(5*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(7*x)\
 lim |--------|
x->0+\  5*x   /
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) 
Limit(sin(7*x)/((5*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right)
Sustituimos
u=7xu = 7 x
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)=lim⁡u→0+(7sin⁡(u)5u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{7 \sin{\left(u \right)}}{5 u}\right)
=
7lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)5\frac{7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{5}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)=75\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{7}{5}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡(7x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(7 x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(5x)=0\lim_{x \to 0^+}\left(5 x\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(7x)ddx5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(7 x \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)
=
lim⁡x→0+(7cos⁡(7x)5)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \cos{\left(7 x \right)}}{5}\right)
=
lim⁡x→0+75\lim_{x \to 0^+} \frac{7}{5}
=
lim⁡x→0+75\lim_{x \to 0^+} \frac{7}{5}
=
75\frac{7}{5}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-2
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(7x)5x)=75\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{7}{5}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)=75\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{7}{5}
lim⁡x→∞(sin⁡(7x)5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(7x)5x)=sin⁡(7)5\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(7 \right)}}{5}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(7x)5x)=sin⁡(7)5\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(7 \right)}}{5}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(7x)5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(7*x)\
 lim |--------|
x->0+\  5*x   /
lim⁡x→0+(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) 
7/5
75\frac{7}{5} 
= 1.4
     /sin(7*x)\
 lim |--------|
x->0-\  5*x   /
lim⁡x→0−(sin⁡(7x)5x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{5 x}\right) 
7/5
75\frac{7}{5} 
= 1.4
= 1.4
Respuesta rápida [src] 
7/5
75\frac{7}{5}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.4
1.4
Gráfico
Límite de la función sin(7*x)/(5*x)
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