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sin(x/2)^2/x^2
Límite de la función/ 2/x^2/ sin(x/2)/ sin(x/2)^2/x^2

Límite de la función sin(x/2)^2/x^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   2/x\\
     |sin |-||
     |    \2/|
 lim |-------|
x->0+|    2  |
     \   x   /
lim⁡x→0+(sin⁡2(x2)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) 
Limit(sin(x/2)^2/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡2(x2)=0\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡2(x2)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡2(x2)ddxx2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x2)cos⁡(x2)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x2)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(x2)ddx2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x2)4)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\right)
=
lim⁡x→0+14\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}
=
lim⁡x→0+14\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}
=
14\frac{1}{4}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.000.50
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   2/x\\
     |sin |-||
     |    \2/|
 lim |-------|
x->0+|    2  |
     \   x   /
lim⁡x→0+(sin⁡2(x2)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) 
1/4
14\frac{1}{4} 
= 0.25
     /   2/x\\
     |sin |-||
     |    \2/|
 lim |-------|
x->0-|    2  |
     \   x   /
lim⁡x→0−(sin⁡2(x2)x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) 
1/4
14\frac{1}{4} 
= 0.25
= 0.25
Respuesta rápida [src] 
1/4
14\frac{1}{4}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡2(x2)x2)=14\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{4}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡2(x2)x2)=14\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{4}
lim⁡x→∞(sin⁡2(x2)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡2(x2)x2)=sin⁡2(12)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡2(x2)x2)=sin⁡2(12)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = \sin^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x2)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.25
0.25
Gráfico
Límite de la función sin(x/2)^2/x^2
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