Sr Examen

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sin(pi*x)/(pi*x)
Límite de la función/ sin(pi*x)/ sin(pi*x)/(pi*x)

Límite de la función sin(pi*x)/(pi*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(pi*x)\
 lim |---------|
x->0+\   pi*x  /
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) 
Limit(sin(pi*x)/((pi*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)
Sustituimos
u=πxu = \pi x
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡(πx)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(πx)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\pi x\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(πx)ddxπx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \pi x}\right)
=
lim⁡x→0+cos⁡(πx)\lim_{x \to 0^+} \cos{\left(\pi x \right)}
=
lim⁡x→0+1\lim_{x \to 0^+} 1
=
lim⁡x→0+1\lim_{x \to 0^+} 1
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-1
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(pi*x)\
 lim |---------|
x->0+\   pi*x  /
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) 
1
11 
= 1.0
     /sin(pi*x)\
 lim |---------|
x->0-\   pi*x  /
lim⁡x→0−(sin⁡(πx)πx)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(πx)πx)=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(πx)πx)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1
lim⁡x→∞(sin⁡(πx)πx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(πx)πx)=0\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(πx)πx)=0\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx)πx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función sin(pi*x)/(pi*x)
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