Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
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Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*x)/(pi*x)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por ( número pi multiplicar por x)
- sin(pix)/(pix)
- sinpix/pix
- sin(pi*x) dividir por (pi*x)
-
Expresiones semejantes
- (x+sin(pi*x))/(pi*x+sin(x))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/x
- sin(3*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(4*x)
- sin(x)^2/x
- sin(x)/(2*x)
- Número Pi pi
- pi/(x*cot(5*x/2))
- Piecewise((1+5*x,x>=1),(-2+x^2,True))
- Piecewise((4+x,x<-1),(2+x^2,x<=1),(2*x,x>=1))
- pi/(x*cot(pi*x/2))
- pi/4
- Número Pi pi
- pi/(x*cot(5*x/2))
- Piecewise((1+5*x,x>=1),(-2+x^2,True))
- Piecewise((4+x,x<-1),(2+x^2,x<=1),(2*x,x>=1))
- pi/(x*cot(pi*x/2))
- pi/4
Límite de la función sin(pi*x)/(pi*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0+\ pi*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
Limit(sin(pi*x)/((pi*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \cos{\left(\pi x \right)}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \pi x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \cos{\left(\pi x \right)}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0+\ pi*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/sin(pi*x)\ lim |---------| x->0-\ pi*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico