Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (10-9*x+2*x^2)/(-10+x^2+3*x)
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Expresiones idénticas
- (- nueve + tres *x^ dos + seis *x)/(dos +x+ siete *x^ dos)
- ( menos 9 más 3 multiplicar por x al cuadrado más 6 multiplicar por x) dividir por (2 más x más 7 multiplicar por x al cuadrado )
- ( menos nueve más tres multiplicar por x en el grado dos más seis multiplicar por x) dividir por (dos más x más siete multiplicar por x en el grado dos)
- (-9+3*x2+6*x)/(2+x+7*x2)
- -9+3*x2+6*x/2+x+7*x2
- (-9+3*x²+6*x)/(2+x+7*x²)
- (-9+3*x en el grado 2+6*x)/(2+x+7*x en el grado 2)
- (-9+3x^2+6x)/(2+x+7x^2)
- (-9+3x2+6x)/(2+x+7x2)
- -9+3x2+6x/2+x+7x2
- -9+3x^2+6x/2+x+7x^2
- (-9+3*x^2+6*x) dividir por (2+x+7*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (9+3*x^2+6*x)/(2+x+7*x^2)
- (-9-3*x^2+6*x)/(2+x+7*x^2)
- (-9+3*x^2+6*x)/(2+x-7*x^2)
- (-9+3*x^2-6*x)/(2+x+7*x^2)
- (-9+3*x^2+6*x)/(2-x+7*x^2)
Límite de la función (-9+3*x^2+6*x)/(2+x+7*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-9 + 3*x + 6*x|
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\ 2 + x + 7*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Limit((-9 + 3*x^2 + 6*x)/(2 + x + 7*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 9 u^{2} + 6 u + 3}{2 u^{2} + u + 7}\right)$$
=
$$\frac{- 9 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 7} = \frac{3}{7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = \frac{3}{7}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 9 u^{2} + 6 u + 3}{2 u^{2} + u + 7}\right)$$
=
$$\frac{- 9 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 7} = \frac{3}{7}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = \frac{3}{7}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 6 x - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 3\right)}{7 x^{2} + x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 6 x - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 6}{14 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(14 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{7}$$
=
$$\frac{3}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 6 x - 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 3\right)}{7 x^{2} + x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 6 x - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 6}{14 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(14 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{7}$$
=
$$\frac{3}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = \frac{3}{7}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = \frac{3}{7}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + \left(3 x^{2} - 9\right)}{7 x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = \frac{3}{7}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico