Sr Examen

Otras calculadoras:

(1-cos(x))/(-1+e^(3*x))^2
Límite de la función/ cos(x)/ e^(3*x)/ (1-cos(x))/(-1+e^(3*x))^2

Límite de la función (1-cos(x))/(-1+e^(3*x))^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     / 1 - cos(x) \
 lim |------------|
x->0+|           2|
     |/      3*x\ |
     \\-1 + E   / /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) 
Limit((1 - cos(x))/(-1 + E^(3*x))^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(e3x−1)2=0\lim_{x \to 0^+} \left(e^{3 x} - 1\right)^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡(x))ddx(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(e−3xsin⁡(x)6(e3x−1))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{- 3 x} \sin{\left(x \right)}}{6 \left(e^{3 x} - 1\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)6e3x−6)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{6 e^{3 x} - 6}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(x)ddx(6e3x−6))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(6 e^{3 x} - 6\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(e−3xcos⁡(x)18)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{- 3 x} \cos{\left(x \right)}}{18}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)18)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{18}\right)
=
lim⁡x→0+(cos⁡(x)18)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{18}\right)
=
118\frac{1}{18}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-101004
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=118\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{18}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=118\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{18}
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=−−1+cos⁡(1)−2e3+1+e6\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{- 2 e^{3} + 1 + e^{6}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=−−1+cos⁡(1)−2e3+1+e6\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{- 2 e^{3} + 1 + e^{6}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     / 1 - cos(x) \
 lim |------------|
x->0+|           2|
     |/      3*x\ |
     \\-1 + E   / /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) 
1/18
118\frac{1}{18} 
= 0.0555555555555556
     / 1 - cos(x) \
 lim |------------|
x->0-|           2|
     |/      3*x\ |
     \\-1 + E   / /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)(e3x−1)2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\left(e^{3 x} - 1\right)^{2}}\right) 
1/18
118\frac{1}{18} 
= 0.0555555555555556
= 0.0555555555555556
Respuesta rápida [src] 
1/18
118\frac{1}{18}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.0555555555555556
0.0555555555555556
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/(-1+e^(3*x))^2
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