Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x + 1} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x + 1} + 1} - 1\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}\right) \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}\right) \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)