Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+x^2-5*x
-
Límite de (-21+x^2+4*x)/(3-7*x+2*x^2)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(16+x^2-10*x)
-
Límite de (-35+x^2-2*x)/(5+2*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((x-a)*(x-b))-x
- raíz cuadrada de ((x menos a) multiplicar por (x menos b)) menos x
- √((x-a)*(x-b))-x
- sqrt((x-a)(x-b))-x
- sqrtx-ax-b-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt((x-a)*(x+b))-x
- sqrt((x-a)*(x-b))+x
- sqrt((x+a)*(x-b))-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x^2)/(x^3+sqrt(2+x))
- sqrt(n)*((-3+5*n)/(2+3*n))^(1+n)
- sqrt(x)+x^2-x
- sqrt(factorial(1+3*3^n))*factorial(n)/(sqrt(1+3^n)*factorial(1+n))
- sqrt(4*x^2+6*x)-sqrt(4*x^2+7*x)
Límite de la función sqrt((x-a)*(x-b))-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________________ \ lim \\/ (x - a)*(x - b) - x/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)$$
Limit(sqrt((x - a)*(x - b)) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) \left(x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{1 + \frac{\sqrt{a b - a x - b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} - \frac{a}{x} - \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} - \frac{a}{x} - \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a b u - a - b}{\sqrt{a b u^{2} - a u - b u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a b - a - b}{\sqrt{0^{2} a b - 0 a - 0 b + 1} + 1} = - \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = - \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) \left(x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{1 + \frac{\sqrt{a b - a x - b x + x^{2}}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} - \frac{a}{x} - \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{a b}{x} - a - b}{\sqrt{\frac{a b}{x^{2}} - \frac{a}{x} - \frac{b}{x} + 1} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a b u - a - b}{\sqrt{a b u^{2} - a u - b u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a b - a - b}{\sqrt{0^{2} a b - 0 a - 0 b + 1} + 1} = - \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = - \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = - \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b - a - b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b - a - b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b - a - b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \sqrt{a b - a - b + 1} - 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{\left(- a + x\right) \left(- b + x\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo