Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+x^2-5*x
-
Límite de (-21+x^2+4*x)/(3-7*x+2*x^2)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(16+x^2-10*x)
-
Límite de (-35+x^2-2*x)/(5+2*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(factorial(uno + tres * tres ^n))*factorial(n)/(sqrt(uno + tres ^n)*factorial(uno +n))
- raíz cuadrada de (factorial(1 más 3 multiplicar por 3 en el grado n)) multiplicar por factorial(n) dividir por ( raíz cuadrada de (1 más 3 en el grado n) multiplicar por factorial(1 más n))
- raíz cuadrada de (factorial(uno más tres multiplicar por tres en el grado n)) multiplicar por factorial(n) dividir por ( raíz cuadrada de (uno más tres en el grado n) multiplicar por factorial(uno más n))
- √(factorial(1+3*3^n))*factorial(n)/(√(1+3^n)*factorial(1+n))
- sqrt(factorial(1+3*3n))*factorial(n)/(sqrt(1+3n)*factorial(1+n))
- sqrtfactorial1+3*3n*factorialn/sqrt1+3n*factorial1+n
- sqrt(factorial(1+33^n))factorial(n)/(sqrt(1+3^n)factorial(1+n))
- sqrt(factorial(1+33n))factorial(n)/(sqrt(1+3n)factorial(1+n))
- sqrtfactorial1+33nfactorialn/sqrt1+3nfactorial1+n
- sqrtfactorial1+33^nfactorialn/sqrt1+3^nfactorial1+n
- sqrt(factorial(1+3*3^n))*factorial(n) dividir por (sqrt(1+3^n)*factorial(1+n))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(factorial(1+3*3^n))*factorial(n)/(sqrt(1-3^n)*factorial(1+n))
- sqrt(factorial(1+3*3^n))*factorial(n)/(sqrt(1+3^n)*factorial(1-n))
- sqrt(factorial(1-3*3^n))*factorial(n)/(sqrt(1+3^n)*factorial(1+n))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x^2)/(x^3+sqrt(2+x))
- sqrt((x-a)*(x-b))-x
- sqrt(n)*((-3+5*n)/(2+3*n))^(1+n)
- sqrt(x)+x^2-x
- sqrt(4*x^2+6*x)-sqrt(4*x^2+7*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x^2)/(x^3+sqrt(2+x))
- sqrt((x-a)*(x-b))-x
- sqrt(n)*((-3+5*n)/(2+3*n))^(1+n)
- sqrt(x)+x^2-x
- sqrt(4*x^2+6*x)-sqrt(4*x^2+7*x)
Límite de la función sqrt(factorial(1+3*3^n))*factorial(n)/(sqrt(1+3^n)*factorial(1+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ _____________ \
| / / n\ |
|\/ \1 + 3*3 /! *n! |
lim |--------------------|
n->oo| ________ |
| / n |
\\/ 1 + 3 *(1 + n)!/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right)$$
Limit((sqrt(factorial(1 + 3*3^n))*factorial(n))/((sqrt(1 + 3^n)*factorial(1 + n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}{n!}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\frac{d}{d n} \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}{n!}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)} \Gamma\left(3 \cdot 3^{n} + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,3 \cdot 3^{n} + 2 \right)}}{2 \left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)} \left(n + 1\right)!}{2 \sqrt{3^{n} + 1} n!} + \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n!} - \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n!^{2}}\right) \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)} \Gamma\left(3 \cdot 3^{n} + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,3 \cdot 3^{n} + 2 \right)}}{2 \left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)} \left(n + 1\right)!}{2 \sqrt{3^{n} + 1} n!} + \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n!} - \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n!^{2}}\right) \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}{n!}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\frac{d}{d n} \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}{n!}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)} \Gamma\left(3 \cdot 3^{n} + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,3 \cdot 3^{n} + 2 \right)}}{2 \left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)} \left(n + 1\right)!}{2 \sqrt{3^{n} + 1} n!} + \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n!} - \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n!^{2}}\right) \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)} \Gamma\left(3 \cdot 3^{n} + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,3 \cdot 3^{n} + 2 \right)}}{2 \left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)} \left(n + 1\right)!}{2 \sqrt{3^{n} + 1} n!} + \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \Gamma\left(n + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 2 \right)}}{n!} - \frac{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)! \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{n!^{2}}\right) \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 180 \sqrt{7}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 180 \sqrt{7}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 180 \sqrt{7}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 180 \sqrt{7}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n! \sqrt{\left(3 \cdot 3^{n} + 1\right)!}}{\sqrt{3^{n} + 1} \left(n + 1\right)!}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo