Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \sqrt{x + 2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{3} + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + \sqrt{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(3 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(3 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)