Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- (seis - dos *x^ dos + cuatro *x)/(seis +x^ dos + cuatro *x)
- (6 menos 2 multiplicar por x al cuadrado más 4 multiplicar por x) dividir por (6 más x al cuadrado más 4 multiplicar por x)
- (seis menos dos multiplicar por x en el grado dos más cuatro multiplicar por x) dividir por (seis más x en el grado dos más cuatro multiplicar por x)
- (6-2*x2+4*x)/(6+x2+4*x)
- 6-2*x2+4*x/6+x2+4*x
- (6-2*x²+4*x)/(6+x²+4*x)
- (6-2*x en el grado 2+4*x)/(6+x en el grado 2+4*x)
- (6-2x^2+4x)/(6+x^2+4x)
- (6-2x2+4x)/(6+x2+4x)
- 6-2x2+4x/6+x2+4x
- 6-2x^2+4x/6+x^2+4x
- (6-2*x^2+4*x) dividir por (6+x^2+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (6-2*x^2+4*x)/(6+x^2-4*x)
- (6+2*x^2+4*x)/(6+x^2+4*x)
- (6-2*x^2+4*x)/(6-x^2+4*x)
- (6-2*x^2-4*x)/(6+x^2+4*x)
Límite de la función (6-2*x^2+4*x)/(6+x^2+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|6 - 2*x + 4*x|
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 6 + x + 4*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
Limit((6 - 2*x^2 + 4*x)/(6 + x^2 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u^{2} + 4 u - 2}{6 u^{2} + 4 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-2 + 0 \cdot 4 + 6 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 4 + 6 \cdot 0^{2} + 1} = -2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u^{2} + 4 u - 2}{6 u^{2} + 4 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{-2 + 0 \cdot 4 + 6 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 4 + 6 \cdot 0^{2} + 1} = -2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = -2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + 4 x + 6\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{x^{2} + 4 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} + 4 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 4 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 - 4 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -2$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + 4 x + 6\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(- x^{2} + 2 x + 3\right)}{x^{2} + 4 x + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} + 4 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 4 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 - 4 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -2$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = \frac{8}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = \frac{8}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = \frac{8}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = \frac{8}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}{4 x + \left(x^{2} + 6\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo