Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (tres +n)*log(tres +n)/((dos +n)*log(dos +n))
- (3 más n) multiplicar por logaritmo de (3 más n) dividir por ((2 más n) multiplicar por logaritmo de (2 más n))
- (tres más n) multiplicar por logaritmo de (tres más n) dividir por ((dos más n) multiplicar por logaritmo de (dos más n))
- (3+n)log(3+n)/((2+n)log(2+n))
- 3+nlog3+n/2+nlog2+n
- (3+n)*log(3+n) dividir por ((2+n)*log(2+n))
-
Expresiones semejantes
- (3+n)*log(3-n)/((2+n)*log(2+n))
- (3-n)*log(3+n)/((2+n)*log(2+n))
- (3+n)*log(3+n)/((2-n)*log(2+n))
- (3+n)*log(3+n)/((2+n)*log(2-n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+2*x)/(3*x)
- log(1+2*x)/(3*x+4*x^2)
- log(1+1/sqrt(x))
- log(5+x^2-4*x)/x
- log((-1+x)*(-5+x)*(-4+x)*(-3+x)*(-2+x)/(-1/5+x)^5)
- Logaritmo log
- log(1+2*x)/(3*x)
- log(1+2*x)/(3*x+4*x^2)
- log(1+1/sqrt(x))
- log(5+x^2-4*x)/x
- log((-1+x)*(-5+x)*(-4+x)*(-3+x)*(-2+x)/(-1/5+x)^5)
Límite de la función (3+n)*log(3+n)/((2+n)*log(2+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/(3 + n)*log(3 + n)\ lim |------------------| n->oo\(2 + n)*log(2 + n)/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
Limit(((3 + n)*log(3 + n))/(((2 + n)*log(2 + n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 2 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 2\right) \left(\frac{\log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} - \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right)^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{\log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} - \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right)^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n^{2} \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{6 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{9 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{\log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{1}{n^{2} + 4 n + 4}}{- \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{1}{n^{2} + 5 n + 6} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2}{n^{2} + 4 n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n^{2} \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{6 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{9 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{\log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{1}{n^{2} + 4 n + 4}}{- \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{1}{n^{2} + 5 n + 6} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2}{n^{2} + 4 n + 4}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 2 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 2\right) \left(\frac{\log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} - \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right)^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{\log{\left(n + 3 \right)}}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} - \frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right)^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n^{2} \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{6 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{9 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{\log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{1}{n^{2} + 4 n + 4}}{- \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{1}{n^{2} + 5 n + 6} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2}{n^{2} + 4 n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{n^{2} \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{6 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{9 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} + \frac{\log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{1}{n^{2} + 4 n + 4}}{- \frac{2 n \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{6 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8} - \frac{1}{n^{2} + 5 n + 6} + \frac{2 \log{\left(n + 3 \right)}}{n^{2} + 4 n + 4} + \frac{2}{n^{2} + 4 n + 4}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 3\right) \log{\left(n + 3 \right)}}{\left(n + 2\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo