Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 6^+}\left(6^{x} - 46656\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 6^+} \operatorname{atan}{\left(x - 6 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{6^{x} - 46656}{\operatorname{atan}{\left(x - 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6^{x} - 46656\right)}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x - 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(6^{x} \left(\left(x - 6\right)^{2} + 1\right) \log{\left(6 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(46656 \left(x^{2} - 12 x + 37\right) \log{\left(6 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(46656 \left(x^{2} - 12 x + 37\right) \log{\left(6 \right)}\right)$$
=
$$46656 \log{\left(6 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)