Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{3} + 2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{4}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sqrt{x^{3} + 2}}{3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sqrt{x^{3} + 2}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{3} + 2}}{\frac{d}{d x} \frac{3 x^{2}}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{3} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{3} + 2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)