Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{9 \left(3 x^{2} + \frac{1}{3}\right)}{2 \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{3}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{3}{2}$$
=
$$- \frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)