Sr Examen

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log(sin(x))*tan(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ log(sin(x))*tan(x)

Límite de la función log(sin(x))*tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0+
lim⁡x→0+(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
Limit(log(sin(x))*tan(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+tan⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+1log⁡(sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxtan⁡(x)ddx1log⁡(sin⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(−(tan⁡2(x)+1)log⁡(sin⁡(x))2sin⁡(x)cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−(tan⁡2(x)+1)log⁡(sin⁡(x))2sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−log⁡(sin⁡(x))2sin⁡(x))ddx1tan⁡2(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right)
=
lim⁡x→0+(−(−log⁡(sin⁡(x))2cos⁡(x)−2log⁡(sin⁡(x))cos⁡(x))(tan⁡2(x)+1)2(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−−log⁡(sin⁡(x))2cos⁡(x)−2log⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)2tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−−log⁡(sin⁡(x))2cos⁡(x)−2log⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)2tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))=log⁡(sin⁡(1))tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))=log⁡(sin⁡(1))tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \tan{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0+
lim⁡x→0+(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
0
00 
= -0.00189820965659739
 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0-
lim⁡x→0−(log⁡(sin⁡(x))tan⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) 
0
00 
= (0.00187911434269187 - 0.000771396926340757j)
= (0.00187911434269187 - 0.000771396926340757j)
Respuesta numérica [src] 
-0.00189820965659739
-0.00189820965659739
Gráfico
Límite de la función log(sin(x))*tan(x)
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