Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 5 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}}{x \left(x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}}{2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)