Sr Examen

Otras calculadoras:

(sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)
Límite de la función/ (sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)

Límite de la función (sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->oo|          2              |
     \         x  - 5*x        /
lim⁡x→∞(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) 
Limit((sqrt(1 + 3*x) - sqrt(6 + 2*x))/(x^2 - 5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→5+(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)
Multiplicamos numerador y denominador por
2x+6+3x+1\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}
obtendremos
−2x+6+3x+1x2−5x(2x+6+3x+1)2x+6+3x+1\frac{\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x} \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}
=
1x(2x+6+3x+1)\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}
=
1x(2x+6+3x+1)\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}
Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→5+(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)
=
lim⁡x→5+(1x(2x+6+3x+1))\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}\right)
=
140\frac{1}{40}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→∞(−2x+3+3x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right) = \infty
y el límite para el denominador es
lim⁡x→∞(x2−5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 5 x\right) = \infty
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→∞(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→∞(−2x+3+3x+1x(x−5))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}}{x \left(x - 5\right)}\right)
=
lim⁡x→∞(ddx(−2x+3+3x+1)ddx(x2−5x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x\right)}\right)
=
lim⁡x→∞(323x+1−22x+32x−5)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}}{2 x - 5}\right)
=
lim⁡x→∞(ddx(323x+1−22x+3)ddx(2x−5))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)}\right)
=
lim⁡x→∞(−98(3x3x+1+3x+1)+28(xx+3+3x+3))\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)
=
lim⁡x→∞(−98(3x3x+1+3x+1)+28(xx+3+3x+3))\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->5+|          2              |
     \         x  - 5*x        /
lim⁡x→5+(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) 
1/40
140\frac{1}{40} 
= 0.025
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->5-|          2              |
     \         x  - 5*x        /
lim⁡x→5−(−2x+6+3x+1x2−5x)\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) 
1/40
140\frac{1}{40} 
= 0.025
= 0.025
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(−2x+6+3x+1x2−5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = 0
lim⁡x→0−(−2x+6+3x+1x2−5x)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = -\infty
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−2x+6+3x+1x2−5x)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = \infty
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−2x+6+3x+1x2−5x)=−12+22\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−2x+6+3x+1x2−5x)=−12+22\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−2x+6+3x+1x2−5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.025
0.025
Gráfico
Límite de la función (sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)
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