Sr Examen

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(sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)

Límite de la función (sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->oo|          2              |
     \         x  - 5*x        /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
Limit((sqrt(1 + 3*x) - sqrt(6 + 2*x))/(x^2 - 5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x} \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}$$
=
$$\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}$$
=
$$\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{40}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 5 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}}{x \left(x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{2} \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}}{2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 1}} - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x + 3}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9}{8 \left(3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{2}}{8 \left(x \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x + 3}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->5+|          2              |
     \         x  - 5*x        /
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
1/40
$$\frac{1}{40}$$
= 0.025
     /  _________     _________\
     |\/ 1 + 3*x  - \/ 6 + 2*x |
 lim |-------------------------|
x->5-|          2              |
     \         x  - 5*x        /
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right)$$
1/40
$$\frac{1}{40}$$
= 0.025
= 0.025
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
0
$$0$$
Respuesta numérica [src]
0.025
0.025
Gráfico
Límite de la función (sqrt(1+3*x)-sqrt(6+2*x))/(x^2-5*x)