Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -9^+}\left(x^{2} + 10 x + 9\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -9^+}\left(x^{2} - 81\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{10 x + \left(x^{2} + 9\right)}{x^{2} - 81}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{x^{2} + 10 x + 9}{x^{2} - 81}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 10 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -9^+}\left(\frac{2 x + 10}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -9^+}\left(- \frac{x}{9} - \frac{5}{9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -9^+}\left(- \frac{x}{9} - \frac{5}{9}\right)$$
=
$$\frac{4}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)