Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- n*(- uno +log(n)/log(uno +n))
- n multiplicar por ( menos 1 más logaritmo de (n) dividir por logaritmo de (1 más n))
- n multiplicar por ( menos uno más logaritmo de (n) dividir por logaritmo de (uno más n))
- n(-1+log(n)/log(1+n))
- n-1+logn/log1+n
- n*(-1+log(n) dividir por log(1+n))
-
Expresiones semejantes
- n*(-1-log(n)/log(1+n))
- n*(-1+log(n)/log(1-n))
- n*(1+log(n)/log(1+n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)*sin(x)
- log(1/x)^x
- log(x)/(1+2*log(sin(x)))
- log(x)/cot(2*x)
- log(x)*log(1-x)
- Logaritmo log
- log(x)*sin(x)
- log(1/x)^x
- log(x)/(1+2*log(sin(x)))
- log(x)/cot(2*x)
- log(x)*log(1-x)
Límite de la función n*(-1+log(n)/log(1+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / log(n) \\ lim |n*|-1 + ----------|| n->oo\ \ log(1 + n)//
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right)$$
Limit(n*(-1 + log(n)/log(1 + n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}\right)}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n \right)}^{2} - 2 \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} - \frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n \right)}^{2} - 2 \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} - \frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}\right)}{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(n \right)} - \log{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n \right)}^{2} - 2 \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} - \frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{n}{n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2} + \log{\left(n \right)}^{2} - 2 \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}^{2}} - \frac{1}{n \log{\left(n \right)}^{2} - 2 n \log{\left(n \right)} \log{\left(n + 1 \right)} + n \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = -1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(\frac{\log{\left(n \right)}}{\log{\left(n + 1 \right)}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo