Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(1 - x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \right)} \log{\left(1 - x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}^{2}}{1 - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(x \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(x \right)}^{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)