Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + dos *x)/(dos + dos *x^ dos)
- (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (2 más 2 multiplicar por x al cuadrado )
- (x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (dos más dos multiplicar por x en el grado dos)
- (x2+2*x)/(2+2*x2)
- x2+2*x/2+2*x2
- (x²+2*x)/(2+2*x²)
- (x en el grado 2+2*x)/(2+2*x en el grado 2)
- (x^2+2x)/(2+2x^2)
- (x2+2x)/(2+2x2)
- x2+2x/2+2x2
- x^2+2x/2+2x^2
- (x^2+2*x) dividir por (2+2*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+2*x)/(2-2*x^2)
- (x^2-2*x)/(2+2*x^2)
Límite de la función (x^2+2*x)/(2+2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x + 2*x|
lim |--------|
x->oo| 2|
\2 + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$
Limit((x^2 + 2*x)/(2 + 2*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{2 u^{2} + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{2 u^{2} + 2}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 0^{2} + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 2\right)}{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 2\right)}{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 2}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico