Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (cinco + tres *x+ ocho *x^ dos)/(quince +x^ dos + ocho *x)
- (5 más 3 multiplicar por x más 8 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (15 más x al cuadrado más 8 multiplicar por x)
- (cinco más tres multiplicar por x más ocho multiplicar por x en el grado dos) dividir por (quince más x en el grado dos más ocho multiplicar por x)
- (5+3*x+8*x2)/(15+x2+8*x)
- 5+3*x+8*x2/15+x2+8*x
- (5+3*x+8*x²)/(15+x²+8*x)
- (5+3*x+8*x en el grado 2)/(15+x en el grado 2+8*x)
- (5+3x+8x^2)/(15+x^2+8x)
- (5+3x+8x2)/(15+x2+8x)
- 5+3x+8x2/15+x2+8x
- 5+3x+8x^2/15+x^2+8x
- (5+3*x+8*x^2) dividir por (15+x^2+8*x)
-
Expresiones semejantes
- (5+3*x+8*x^2)/(15+x^2-8*x)
- (5+3*x-8*x^2)/(15+x^2+8*x)
- (5+3*x+8*x^2)/(15-x^2+8*x)
- (5-3*x+8*x^2)/(15+x^2+8*x)
Límite de la función (5+3*x+8*x^2)/(15+x^2+8*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|5 + 3*x + 8*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\15 + x + 8*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$
Limit((5 + 3*x + 8*x^2)/(15 + x^2 + 8*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 3 u + 8}{15 u^{2} + 8 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 3 + 5 \cdot 0^{2} + 8}{0 \cdot 8 + 15 \cdot 0^{2} + 1} = 8$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = 8$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u^{2} + 3 u + 8}{15 u^{2} + 8 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 3 + 5 \cdot 0^{2} + 8}{0 \cdot 8 + 15 \cdot 0^{2} + 1} = 8$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = 8$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{2} + 3 x + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8 x + 15\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 8 x + 15}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{2} + 3 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x + 3}{2 x + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x + 3}{2 x + 8}\right)$$
=
$$8$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{2} + 3 x + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8 x + 15\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 8 x + 15}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{2} + 3 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x + 3}{2 x + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x + 3}{2 x + 8}\right)$$
=
$$8$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = 8$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = 8$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2} + \left(3 x + 5\right)}{8 x + \left(x^{2} + 15\right)}\right) = 8$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico