Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x))/(x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + dos *x)/(siete + dos *x))^(siete + tres *x)
- ((3 más 2 multiplicar por x) dividir por (7 más 2 multiplicar por x)) en el grado (7 más 3 multiplicar por x)
- ((tres más dos multiplicar por x) dividir por (siete más dos multiplicar por x)) en el grado (siete más tres multiplicar por x)
- ((3+2*x)/(7+2*x))(7+3*x)
- 3+2*x/7+2*x7+3*x
- ((3+2x)/(7+2x))^(7+3x)
- ((3+2x)/(7+2x))(7+3x)
- 3+2x/7+2x7+3x
- 3+2x/7+2x^7+3x
- ((3+2*x) dividir por (7+2*x))^(7+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+2*x)/(7+2*x))^(7-3*x)
- ((3-2*x)/(7+2*x))^(7+3*x)
- ((3+2*x)/(7-2*x))^(7+3*x)
Límite de la función ((3+2*x)/(7+2*x))^(7+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
7 + 3*x
/3 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\7 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
Limit(((3 + 2*x)/(7 + 2*x))^(7 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 7\right) - 4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 7} + \frac{2 x + 7}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 7}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - \frac{7}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 7\right) - 4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 7} + \frac{2 x + 7}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 7}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - \frac{7}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{9765625}{3486784401}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{9765625}{3486784401}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{9765625}{3486784401}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = \frac{9765625}{3486784401}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 7}\right)^{3 x + 7} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo