Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(1 - 2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(9 x + 1\right)^{3} - 1}{\log{\left(1 - 2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(729 x^{3} + 243 x^{2} + 27 x\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - 2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x - \frac{1}{2}\right) \left(2187 x^{2} + 486 x + 27\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2187 x^{2}}{2} - 243 x - \frac{27}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2187 x^{2}}{2} - 243 x - \frac{27}{2}\right)$$
=
$$- \frac{27}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)