Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+x^2+2*x)/(x^3+3*x+4*x^2)
- Límite de -sin(a/2-x/2)*tan(pi*x/(2*a))
-
Límite de (sqrt(17+3*x)-sqrt(12+2*x))/(15+x^2+8*x)
-
Límite de (-2+sqrt(4+x^2))/(-3+sqrt(9+x^2))
-
Expresiones idénticas
- exp(x)^(-x)*(- dos - ocho *x- siete *x^ dos + dos *x^ cuatro + doce *x^ tres)
- exponente de (x) en el grado ( menos x) multiplicar por ( menos 2 menos 8 multiplicar por x menos 7 multiplicar por x al cuadrado más 2 multiplicar por x en el grado 4 más 12 multiplicar por x al cubo )
- exponente de (x) en el grado ( menos x) multiplicar por ( menos dos menos ocho multiplicar por x menos siete multiplicar por x en el grado dos más dos multiplicar por x en el grado cuatro más doce multiplicar por x en el grado tres)
- exp(x)(-x)*(-2-8*x-7*x2+2*x4+12*x3)
- expx-x*-2-8*x-7*x2+2*x4+12*x3
- exp(x)^(-x)*(-2-8*x-7*x²+2*x⁴+12*x³)
- exp(x) en el grado (-x)*(-2-8*x-7*x en el grado 2+2*x en el grado 4+12*x en el grado 3)
- exp(x)^(-x)(-2-8x-7x^2+2x^4+12x^3)
- exp(x)(-x)(-2-8x-7x2+2x4+12x3)
- expx-x-2-8x-7x2+2x4+12x3
- expx^-x-2-8x-7x^2+2x^4+12x^3
-
Expresiones semejantes
- exp(x)^(x)*(-2-8*x-7*x^2+2*x^4+12*x^3)
- exp(x)^(-x)*(-2-8*x-7*x^2+2*x^4-12*x^3)
- exp(x)^(-x)*(2-8*x-7*x^2+2*x^4+12*x^3)
- exp(x)^(-x)*(-2-8*x+7*x^2+2*x^4+12*x^3)
- exp(x)^(-x)*(-2+8*x-7*x^2+2*x^4+12*x^3)
- exp(x)^(-x)*(-2-8*x-7*x^2-2*x^4+12*x^3)
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(-4*x)*sin(5*x)/(x*tan(2*x))
- exp(sin(2*x))
- exp(2*x^2)
- exp(1/(-1+x))*log(3+sqrt(2)-3*x)
- exp(-3+x)/(-3+x)
Límite de la función exp(x)^(-x)*(-2-8*x-7*x^2+2*x^4+12*x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x \
|/ x\ / 2 4 3\|
lim \\e / *\-2 - 8*x - 7*x + 2*x + 12*x //
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right)$$
Limit(exp(x)^(-x)*(-2 - 8*x - 7*x^2 + 2*x^4 + 12*x^3), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x}\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 36 x^{2} - 14 x - 8}{x \left(e^{x}\right)^{x} + \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 36 x^{2} - 14 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \left(e^{x}\right)^{x} + \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 72 x - 14}{x \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} + \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)} + 2 \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 72 x - 14}{x \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} + \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)} + 2 \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x}\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 36 x^{2} - 14 x - 8}{x \left(e^{x}\right)^{x} + \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 36 x^{2} - 14 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \left(e^{x}\right)^{x} + \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 72 x - 14}{x \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} + \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)} + 2 \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{2} + 72 x - 14}{x \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} + \left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \left(e^{x}\right)^{x} \log{\left(e^{x} \right)} + 2 \left(e^{x}\right)^{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = - \frac{3}{e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = - \frac{3}{e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = - \frac{3}{e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = - \frac{3}{e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(12 x^{3} + \left(2 x^{4} + \left(- 7 x^{2} + \left(- 8 x - 2\right)\right)\right)\right) \left(e^{x}\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo