Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9}{\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)