Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} + 1}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x^{3} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(x^{5} - 1\right)}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{4}}{x^{3} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} + 1}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)