Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - 9 \sin{\left(3 x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - 9 \sin{\left(3 x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)