Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{8 \sin{\left(2 x \right)} \sqrt{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{8 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{16 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{16}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{16}$$
=
$$- \frac{1}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)