Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de (e^(5*x)-e^x)/(x^3+asin(x))
-
Límite de ((3-x)^4-(2-x)^4)/((1-x)^4-(1+x)^4)
-
Límite de (5-x^2+2*x^3+3*x^4+5*x)/(1+x^3)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(tres +x^ dos)-sqrt(x^ dos -x)
- raíz cuadrada de (3 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos x)
- raíz cuadrada de (tres más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos x)
- √(3+x^2)-√(x^2-x)
- sqrt(3+x2)-sqrt(x2-x)
- sqrt3+x2-sqrtx2-x
- sqrt(3+x²)-sqrt(x²-x)
- sqrt(3+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-x)
- sqrt3+x^2-sqrtx^2-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(3-x^2)-sqrt(x^2-x)
- sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+x)
- sqrt(3+x^2)+sqrt(x^2-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(-3+x^2-x)
- sqrt(-3+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(-3+x^2-x)
- sqrt(-3+x^2)
Límite de la función sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 3 + x - \/ x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right)$$
Limit(sqrt(3 + x^2) - sqrt(x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 3}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 1}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{3 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 3 + 1}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 3}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} - x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 1}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{3 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 3 + 1}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} - x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo