Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x)/(cuatro + tres *x))^(- uno +x/ tres)
- ((1 más 3 multiplicar por x) dividir por (4 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más x dividir por 3)
- ((uno más tres multiplicar por x) dividir por (cuatro más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más x dividir por tres)
- ((1+3*x)/(4+3*x))(-1+x/3)
- 1+3*x/4+3*x-1+x/3
- ((1+3x)/(4+3x))^(-1+x/3)
- ((1+3x)/(4+3x))(-1+x/3)
- 1+3x/4+3x-1+x/3
- 1+3x/4+3x^-1+x/3
- ((1+3*x) dividir por (4+3*x))^(-1+x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((1+3*x)/(4+3*x))^(1+x/3)
- ((1+3*x)/(4+3*x))^(-1-x/3)
- ((1-3*x)/(4+3*x))^(-1+x/3)
- ((1+3*x)/(4-3*x))^(-1+x/3)
Límite de la función ((1+3*x)/(4+3*x))^(-1+x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-1 + -
3
/1 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
Limit(((1 + 3*x)/(4 + 3*x))^(-1 + x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3} - \frac{13}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{9}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{9}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3} - \frac{13}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{9}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{9}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = \frac{14^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = \frac{14^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = 4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = \frac{14^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = \frac{14^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x + 4}\right)^{\frac{x}{3} - 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo