Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(3 x^{2} - 5 x - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} + \left(- 5 x - 2\right)}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 5 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x - 5}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x}{2} - \frac{5}{4}\right)$$
=
$$\frac{7}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)