Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (dos +x)^ tres /(cuatro *(- uno +x)^ dos)
- (2 más x) al cubo dividir por (4 multiplicar por ( menos 1 más x) al cuadrado )
- (dos más x) en el grado tres dividir por (cuatro multiplicar por ( menos uno más x) en el grado dos)
- (2+x)3/(4*(-1+x)2)
- 2+x3/4*-1+x2
- (2+x)³/(4*(-1+x)²)
- (2+x) en el grado 3/(4*(-1+x) en el grado 2)
- (2+x)^3/(4(-1+x)^2)
- (2+x)3/(4(-1+x)2)
- 2+x3/4-1+x2
- 2+x^3/4-1+x^2
- (2+x)^3 dividir por (4*(-1+x)^2)
-
Expresiones semejantes
- (2+x)^3/(4*(-1-x)^2)
- (2-x)^3/(4*(-1+x)^2)
- (2+x)^3/(4*(1+x)^2)
Límite de la función (2+x)^3/(4*(-1+x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| (2 + x) |
lim |-----------|
x->oo| 2|
\4*(-1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Limit((2 + x)^3/((4*(-1 + x)^2)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4}{x} - \frac{8}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4}{x} - \frac{8}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}{4 u^{3} - 8 u^{2} + 4 u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1}{- 8 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4}{x} - \frac{8}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}{\frac{4}{x} - \frac{8}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}{4 u^{3} - 8 u^{2} + 4 u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1}{- 8 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 8 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 8 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 12 x + 12}{8 x - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} - 8 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 8 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 12 x + 12}{8 x - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{4 \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo