Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Expresiones idénticas
- (cos(tres *x)^ dos -cos(tres *x)- seis *x*cos(tres *x)*sin(tres *x))/(tres *x*(seis *x*cos(tres *x)+sin(tres *x)))
- ( coseno de (3 multiplicar por x) al cuadrado menos coseno de (3 multiplicar por x) menos 6 multiplicar por x multiplicar por coseno de (3 multiplicar por x) multiplicar por seno de (3 multiplicar por x)) dividir por (3 multiplicar por x multiplicar por (6 multiplicar por x multiplicar por coseno de (3 multiplicar por x) más seno de (3 multiplicar por x)))
- ( coseno de (tres multiplicar por x) en el grado dos menos coseno de (tres multiplicar por x) menos seis multiplicar por x multiplicar por coseno de (tres multiplicar por x) multiplicar por seno de (tres multiplicar por x)) dividir por (tres multiplicar por x multiplicar por (seis multiplicar por x multiplicar por coseno de (tres multiplicar por x) más seno de (tres multiplicar por x)))
- (cos(3*x)2-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
- cos3*x2-cos3*x-6*x*cos3*x*sin3*x/3*x*6*x*cos3*x+sin3*x
- (cos(3*x)²-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
- (cos(3*x) en el grado 2-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
- (cos(3x)^2-cos(3x)-6xcos(3x)sin(3x))/(3x(6xcos(3x)+sin(3x)))
- (cos(3x)2-cos(3x)-6xcos(3x)sin(3x))/(3x(6xcos(3x)+sin(3x)))
- cos3x2-cos3x-6xcos3xsin3x/3x6xcos3x+sin3x
- cos3x^2-cos3x-6xcos3xsin3x/3x6xcos3x+sin3x
- (cos(3*x)^2-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x)) dividir por (3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
-
Expresiones semejantes
- (cos(3*x)^2+cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
- (cos(3*x)^2-cos(3*x)+6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
- (cos(3*x)^2-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)-sin(3*x)))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(x)^2-tan(x)^2
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(3*x)*tan(x^2/3)/sin(5*x^2)^2
- cos(t^2)^x
- Coseno cos
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(x)^2-tan(x)^2
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(3*x)*tan(x^2/3)/sin(5*x^2)^2
- cos(t^2)^x
- Coseno cos
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(x)^2-tan(x)^2
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(3*x)*tan(x^2/3)/sin(5*x^2)^2
- cos(t^2)^x
- Seno sin
- sin(19*x)/sin(3*x)
- sin(10*x)/(5*x)
- sin(x)^2-tan(x)^2/x^4
- sin(x)^2/(2*x^2)
- sin(1+x)/sin(x)
- Coseno cos
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(x)^2-tan(x)^2
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(3*x)*tan(x^2/3)/sin(5*x^2)^2
- cos(t^2)^x
- Seno sin
- sin(19*x)/sin(3*x)
- sin(10*x)/(5*x)
- sin(x)^2-tan(x)^2/x^4
- sin(x)^2/(2*x^2)
- sin(1+x)/sin(x)
Límite de la función (cos(3*x)^2-cos(3*x)-6*x*cos(3*x)*sin(3*x))/(3*x*(6*x*cos(3*x)+sin(3*x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|cos (3*x) - cos(3*x) - 6*x*cos(3*x)*sin(3*x)|
lim |--------------------------------------------|
x->0+\ 3*x*(6*x*cos(3*x) + sin(3*x)) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
Limit((cos(3*x)^2 - cos(3*x) - (6*x)*cos(3*x)*sin(3*x))/(((3*x)*((6*x)*cos(3*x) + sin(3*x)))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x}}{\frac{d}{d x} \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}}}{- 18 x \sin{\left(3 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}}}{- 18 x \sin{\left(3 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{5}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(- 6 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{3 x}}{\frac{d}{d x} \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}}}{- 18 x \sin{\left(3 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3 x^{2}}}{- 18 x \sin{\left(3 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{5}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|cos (3*x) - cos(3*x) - 6*x*cos(3*x)*sin(3*x)|
lim |--------------------------------------------|
x->0+\ 3*x*(6*x*cos(3*x) + sin(3*x)) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
-5/6
$$- \frac{5}{6}$$
= -0.833333333333333
/ 2 \
|cos (3*x) - cos(3*x) - 6*x*cos(3*x)*sin(3*x)|
lim |--------------------------------------------|
x->0-\ 3*x*(6*x*cos(3*x) + sin(3*x)) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
-5/6
$$- \frac{5}{6}$$
= -0.833333333333333
= -0.833333333333333
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = - \frac{5}{6}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = - \frac{5}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = \frac{- 6 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)} + \cos^{2}{\left(3 \right)} - \cos{\left(3 \right)}}{18 \cos{\left(3 \right)} + 3 \sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = \frac{- 6 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)} + \cos^{2}{\left(3 \right)} - \cos{\left(3 \right)}}{18 \cos{\left(3 \right)} + 3 \sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = - \frac{5}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = \frac{- 6 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)} + \cos^{2}{\left(3 \right)} - \cos{\left(3 \right)}}{18 \cos{\left(3 \right)} + 3 \sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right) = \frac{- 6 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)} + \cos^{2}{\left(3 \right)} - \cos{\left(3 \right)}}{18 \cos{\left(3 \right)} + 3 \sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 6 x \cos{\left(3 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \left(\cos^{2}{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{3 x \left(6 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo