Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- pi*x/ dos +(- dos +x+x^ tres)*atan(uno +x)/x^ dos
- número pi multiplicar por x dividir por 2 más ( menos 2 más x más x al cubo ) multiplicar por arco tangente de gente de (1 más x) dividir por x al cuadrado
- número pi multiplicar por x dividir por dos más ( menos dos más x más x en el grado tres) multiplicar por arco tangente de gente de (uno más x) dividir por x en el grado dos
- pi*x/2+(-2+x+x3)*atan(1+x)/x2
- pi*x/2+-2+x+x3*atan1+x/x2
- pi*x/2+(-2+x+x³)*atan(1+x)/x²
- pi*x/2+(-2+x+x en el grado 3)*atan(1+x)/x en el grado 2
- pix/2+(-2+x+x^3)atan(1+x)/x^2
- pix/2+(-2+x+x3)atan(1+x)/x2
- pix/2+-2+x+x3atan1+x/x2
- pix/2+-2+x+x^3atan1+x/x^2
- pi*x dividir por 2+(-2+x+x^3)*atan(1+x) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- pi*x/2+(2+x+x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*x/2+(-2+x-x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*x/2+(-2+x+x^3)*atan(1-x)/x^2
- pi*x/2-(-2+x+x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*x/2+(-2-x+x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*x/2+(-2+x+x^3)*arctan(1+x)/x^2
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi*(-2-3*x+2*x^2)/cos(pi*x/4)
- pi/2-atan(2*x)
- Piecewise((3+2*x,x<1),(4*x,x=1),(2+x^2,x>1),(0,True))
- pi*(1+x)/(4*x)
- pi*sqrt(3)*acot(cos(sqrt(x)))/3
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/tan(3*x)
- atan(2*x)/(5*x)
- atan(x)/tan(x)
- atan(2*x)/(2*sin(x))
- atan(2*x)/(3*x)
Límite de la función pi*x/2+(-2+x+x^3)*atan(1+x)/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 3\ \
|pi*x \-2 + x + x /*atan(1 + x)|
lim |---- + -------------------------|
x->oo| 2 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$$
Limit((pi*x)/2 + ((-2 + x + x^3)*atan(1 + x))/x^2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \pi x^{3} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{3} + 2 \left(x^{3} + x - 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \pi x^{3} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2} + 6 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 3 \pi x^{2} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 2} + 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{4}{x^{2} + 2 x + 2}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2} + 6 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 3 \pi x^{2} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 2} + 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{4}{x^{2} + 2 x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \frac{3 \pi x}{2} + \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \frac{3 \pi x}{2} + \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \pi x^{3} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{3} + 2 \left(x^{3} + x - 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \pi x^{3} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - 4 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2} + 6 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 3 \pi x^{2} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 2} + 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{4}{x^{2} + 2 x + 2}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 2} + 6 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + 3 \pi x^{2} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 2} + 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{4}{x^{2} + 2 x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \frac{3 \pi x}{2} + \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + 3 x \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + \frac{3 \pi x}{2} + \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\left(x^{3} + \left(x - 2\right)\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo