Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- asin(cuatro *x)/(dos *x)
- ar coseno de eno de (4 multiplicar por x) dividir por (2 multiplicar por x)
- ar coseno de eno de (cuatro multiplicar por x) dividir por (dos multiplicar por x)
- asin(4x)/(2x)
- asin4x/2x
- asin(4*x) dividir por (2*x)
-
Expresiones semejantes
- asin(4*x)/(2*x^2)
- arcsin(4*x)/(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(3*x)/(2*x)
- asin(2*x)/(3*x)
- asin(8*x)/(4*x)
- asin(3*x)/sin(5*x)
- asin(x)/(-3+x)
Límite de la función asin(4*x)/(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/asin(4*x)\ lim |---------| x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Limit(asin(4*x)/((2*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(4 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{4} \right)}}{\frac{1}{4} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(4 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{4} \right)}}{\frac{1}{4} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$
/sin(u)\
= 2 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/asin(4*x)\ lim |---------| x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/asin(4*x)\ lim |---------| x->0-\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(4 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(4 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(4 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(4 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(4 x \right)}}{2 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico