Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(8 n\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{- \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 3 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(8 n \left(- \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 3 \right)}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(8 n \left(- \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 3 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 8 n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 3 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 \log{\left(n + 1 \right)}^{2} - 16 \log{\left(n + 1 \right)} \log{\left(n + 3 \right)} + 8 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{- \frac{1}{n + 3} + \frac{1}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 \log{\left(n + 1 \right)}^{2} - 16 \log{\left(n + 1 \right)} \log{\left(n + 3 \right)} + 8 \log{\left(n + 3 \right)}^{2}}{- \frac{1}{n + 3} + \frac{1}{n + 1}}\right)$$
=
$$16$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)